Exponentes Racionales

  En la clase de hoy hablamos sobre los exponentes racionales y como resolverlos. Hicimos tres ejemplos solamente ya que era periodo corto. Este fue un tema sencillo ya que lo que hay que hacer son pasos simples como eliminar fracciones y sustituir. 

 

        

Ecuaciones con radicales

Ecuaciones con radicales

    Hoy, 28 de agosto de 2012, cubrimos el último tema para el examen que lleva por nombre "ecuaciones con radicales". Al igual que los demás temas, incluye procesos ya estudiados en el curso del grado 11 lo cual lo hace, básicamente, un repaso de lo que ya aprendimos en el pasado. A continuación, ejemplos con procesos de las ecuaciones con radicales:

*Nota: DONDE VEA EL RADICAL, CUBRE  LA VARIABLE Y EL NUMERO

 

Ej.1.) x-5= √x+7

          (x-5)^2= (√x+7)^2  (eliminación del radical elevándolo al cuadrado)

           x^2-10x+25= x+7 

           x^2-10x+25-x-7=0

           x ^2-11x+18=0  (se factoriza)

           (x-9) (x-2)

           x1= 9 ; x2= 2

 

Ej. 2.) √X+2    + 3=5

         √X+2= 5-3

         ( √X+2)^2= (2)^2

              x+2= 4

               x= 4-2

                 x= 2

Imagen de una ecuación con radical:

 

 

 

 

     

         

 

Básicamente este fue la lección de hoy. Sencillo no?

Ecuaciones Cuadráticas

  Hoy seguimos con el repaso del año pasado pero que es esencial para los temas que vienen prontamente en la clase.

  Esta vez trabajamos con Ecuaciones Cuadráticas.

Forma General: axˆ2 + bx + c
-Factorización
-Raíz Cuadrada
-Completar el cuadrado: (b/2)ˆ2
-Formula Cuadrática:  

Ejemplos:

-           1.    xˆ2 +5x = 24            Factorización
= xˆ2 + 5x – 24 = 0
= (x – 3)(x + 8)
= x – 3 = 0
= x1 = 3
= x + 8 = 0
= x2 = -8

-     

               2.     xˆ2 + 5x + (5/2)ˆ2 = 24 + (5/2)ˆ2     Completar el Cuadrado
= xˆ2 + 5x + (25/4) = 24 + (25/4)
= (x + 5/2)(x + 5/2) = 96 + 25/4
=√(x + 5/2)ˆ2 = +- √121/4
= x + 5/2 +- 11/2
= x = -5/2 +- 11/2
= x = -5/2 + 11/4
= x1 = 6/2 = 3
= x = -5/2 – 11/4
= x2 = -16/2 = -8

-         

        3.  xˆ2 – 8x + 13x = 0    a = 1, b = -8, c = 13    Formula Cuadrática
= X = 8 +- √(-8)ˆ2 – 4(1)(13)/  2(1)
= X = 8 +- √64 – 52/ 2
= X = 8 +- √12/ 2
= X = 8 +- 2√3/ 2
= X = 2(4 +- √3)/ 2|
= X = 4 +- √3
= X1 = 4 + √3
= X2 = 4 - √3

-        

               4.  5(x + 4)ˆ2 = 3 – forma estándar a(x + b)ˆ2 – c = 0:  Raíz Cuadrada
= 5(x+ 4)ˆ2/5 = 3/5
= √(x + 4)ˆ2 = +- √3/5
= x + 4 +- √3/√5 . √5/√5
= x + 4 +- √15/5
= x = -4 +- √15/5
= x1 = -4 + √15/5 = -20 + √15/5
=x2 = -4 - √15/5 = -20 + √15/5

¡Acuérdense de los ejercicios de práctica para el jueves! 

Ecuaciones Literales

 La clase de hoy por ser dada un viernes la clase de hoy fue corta por el horario corto. No obstante el maestro nos dio tema nuevo y se trata de esto:

Ecuaciones Literales

-Ecuación con más de una variable

 

 

Ejemplo

ax + b^2 = a^2-bx

·         Agrupar las variables que son iguales

 ax +bx =a^2+b^2

·         Simplificar la expresión matemática

x(a+b) = (a+b)(a-b)

·         Dejar la variable sola

x(a+b)/(a+b) = (a+b)(a-b)/(a+b)

·         Contestación final

x= a-b

 

Ejercicios

2. a(x+b) + x(b-a) = 2b(2a-x)

ax+ab+bx-ax = 4ab – 2bx

ab+bx = 4ab – 2bx

bx+2bx = 4ab – ab

3bx = 3ab

3bx/3b = 3ab/3b

x =a

Nota: en el siguiente problema se utilizara el Triangulo de Pascal

3. (x-a)^2 – (x+2)^2 = a(a – 7x)

x^2 – 2xa+a^2 – (x^2+2xa+a^2) = a^2 – 7xa

x^2 – 2xa+a^2 – x^2 – 2xa – a^2 = a^2 – 7xa

-2xa – 2xa = a^2 – 7xa

-4xa+7xa = a^2

3xa/3a = a^2/3a

x = a/3

 

4. m/x + n/m ₌ n/x + 1

mx(m/x +n/m) = (n/x + 1)mx

m^2 +xn = mn + xm

xn –xm = mn – m^2

x(n-m) = m(n-m)

x(n-m)/(n-m) = m(n-m)/(n-m)

x = m

 

5. 3/4(x/b + x/a) = 1/3(x/b – x/a) + 5a + 13b/12a

3x/4b + 3x/4a = x/3b – x/3a + 5a + 13b/12a

12ab(3x/4b + 3x/4a = x/3b – x/3a + 5a + 13b/12a)

9xa + 9xb = 4xa - 4xb + 5ab + 13b^2

9xa – 4xa + 9xb + 4xb = 5ab + 13b^2

5xa + 13xb = 5ab + 13b^2

x(5a + 13b) = b(5a + 13b)

x(5a + 13b)/(5a +  13b) = b(5a + 13b)/(5a + 13b)

x = b

 

Invito a las personas de este blog a comentar no solo de esta entrada pero también de su experiencia con el quiz que cogimos el martes 21 de agosto si eso es lo que desea. Recuerda este blog es de nosotras.

Ecuaciones con una sola variable , Ecuaciones Literales

   Hoy tocamos el tema de Ecuaciones con una sola variable, el cual es un breve repaso de temas que ya habíamos tomado. Las Ecuaciones de una sola variable son:

• ·         Ecuaciones lineales
• ·         Ecuaciones Racionales
• ·         Ecuaciones Cuadráticas
• ·         Ecuaciones con Desigualdades
• ·         Ecuaciones con valor absoluto

Ecuaciones Lineales:

Ej:  1.  (8x – 2)(3x+4) = (4x+3)(6x-1)

24x² + 32x – 6x – 8 = 24x² – 4x + 18 – 3

26x – 8 = 14x – 3

26x – 14x = -3 + 8

12x/12 =  5/12

X =   5/12

Ecuaciones Racionales:

Ej:    1.   ½ x +  5/3 = 2/3x – 5/4          

½ x – 2/3  = -5/4 – 5/3                       

3x – 4x / 6 = -15 – 20 / 6

(-6) -1/6 x =  -35/12 (-6)

X = 35 / 2

Este ejercicio tiene dos formas de resolverse. La otra forma buscando el mínimo común divisor.

[12(1/2x + 5/3)]=[2/3x – 5/4]12

6x + 20 = 8x – 15

20 + 15 = 8x – 6x

35 = 2x

35/2 = x

2. 3 + 5x / 5 = 4 – x / 7

(35)   3 + 5x / 5 = 4 – x / 7 (35)

21 + 35x = 20 – 5x

35x + 5x = 20 – 21

40 x / 40 = -1 / 40

X = -1/ 40

El origen de Mi Tormento...

Biografia de Blaise Pascal:

  (Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662) Filósofo, físico y matemático francés. Su madre falleció cuando él contaba tres años, a raíz de lo cual su padre se trasladó a París con su familia (1630). Fue un genio precoz a quien su padre inició muy pronto en la geometría e introdujo en el círculo de Mersenne, la Academia, a la que él mismo pertenecía. Allí Pascal se familiarizó con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redactó su Ensayo sobre las cónicas (Essai pour les coniques), que contenía lo que hoy se conoce como teorema del hexágono de Pascal.La designación de su padre como comisario del impuesto real supuso el traslado a Ruán, donde Pascal desarrolló un nuevo interés por el diseño y la construcción de una máquina de sumar; se conservan todavía varios ejemplares del modelo que ideó, algunos de cuyos principios se utilizaron luego en las modernas calculadoras mecánicas. La tensión de su pensamiento entre la ciencia y la religión quedó reflejada en su admisión de dos principios del conocimiento: la razón (esprit géométrique), orientada hacia las verdades científicas y que procede sistemáticamente a partir de definiciones e hipótesis para avanzar demostrativamente hacia nuevas proposiciones, y el corazón (esprit de finesse), que no se sirve de procedimientos sistemáticos porque posee un poder de comprensión inmediata, repentina y total, en términos de intuición. En esta última se halla la fuente del discernimiento necesario para elegir los valores en que la razón debe cimentar su labor.

Bibliografia:

biografiasyvidas.com

Números Complejos (Continuación) 

      Hoy, 17 de agosto de 2012, continuamos con el tema de los números complejos. Esta vez, estuvimos educándonos sobre la división entre los mismos. Este proceso, como bien ya es conocido, conlleva una serie de pasos que se dejan regir por la siguiente fórmula:

       a+bi   .   c-di

       c+di        c-di

= ac-adi+cbi-bdi^2

     (c)^2 -  (di)^2

= ac-adi+cbi+bd

       c^2 + d^2

= (ac +bd) + (-ad+cb) i

            c^2 + d^2

Ejemplo (en números) :

  2+3i   .    3-i

  3+i          3-i    

= 6-2i+9i-3i^2     (se utiliza la propiedad distributiva)

    (3)^2- (i)^2

=  6+7i+3 

       9+1         

= 9+7i

      10         (se dividen los números reales de los imaginarios)

=  9   + 7 i

    10     10 

  A continuación, un video que facilita la comprensión del tema:

Ejemplo final:

-1+5i   .   3-2i

3+2i        3-2i

= -3+2i+15i-10^2

      (3)^2 - (2i)^2

= -3+17i+10

          9+4

= 7+17i

      13

= 7    + 17i

    13      13

Números Complejos

Hoy comenzamos tema nuevo, los Números Complejos.

Este tema tiene que ver mucho con los números imaginarios y por esas razones el maestro nos dio un repaso de lo que eran los números imaginarios y los explico más a fondo.

El tema llego hasta la multiplicación y se pudo discutir un poco de lo que era la división.

Números Complejos – son aquellos que tienen la forma a + bi, donde a y b son números Reales. El número real a es llamado parte real del numero a + bi, el número real b es la parte imaginaria de a + bi.

Temas:

      A.  Suma y Resta:

(a + bi) + (c + di)
= (a + c) + (bi + di)
=(a + c) + (b + d)i

Ejemplo:

     1.   (2 + 3i) + (5 + 7i)
= 7 + 10i

     2.      (-8 – 5i) – (-3 + 2i)

      = (2 + 5) + (3i + 7i)
= (-8 + 3) + (-5i – 2i)
= -5 – 7i

      3.    (5 - √-4) – (3 + √-25)
= (5 – 2i) – (3 + 5i)
= (5 – 3) + (-2i – 5i)
= 2 – 7i

        B.   Multiplicación:

(a + bi)(c +di) 

= ac +adi +cbi + bdiˆ2
= ac + adi + cbi + bd (-1)
= ac +adi +cbi – bd
= (ac – bd) + (adi +cbi)

 Ejemplos:

      1.  (3 + 2i)(5 + 3i) 

      = 15 +9i +10i + 6iˆ2
= 15 + 19i -6
= 9 + 19i

      2.   (4 – 5i)ˆ2 – En este ejercicio el triangulo de Pascal para acortar el proceso y hacerlo más fácil.
= (4)ˆ2 – 2(4)(5i) + (5i)ˆ2
= 16 – 40i – 25
= -9 – 40i

       3.  (4/5i)(20/16i) – En este ejercicio se multiplica cruzado y se simplifican los términos.
= (1/1i)(4/4i)
= (-i)(-i)
= iˆ2
= -1

Sistemas Numericos

Hoy en la clase de matemática avanzada estuvimos aprendiendo sobre los sistemas numéricos.  En este tema repasamos los números reales y de que consisten. Luego el maestro nos explicó con más detalle cómo utilizar los números imaginarios y las diferentes formas de resolver un problema matemático que tenga este.

Número real: es el número que se puede representar en la recta numérica.

·         Numero naturales:  {1,2,3,4…..}

·         Numero cardinales:   {0,1,2,3,4……}

·         Numero enteros:  {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4…….}

·         Numero racionales:  ½, -3/4, 0.333, 5/8

·         Numero inracionales: (pi, sqrt 2, sqrt 10, e)

Números imaginarios: es igual a la raíz cuadrada de negativo uno ( i = √-1 )

Potencias de i

1. i^0 = 1

2. i^1 = i

3. i^2 = -1

4. i^3 = -i

Cuando la potencia es impar:   i, - i

Cuando la potencia es par: 1, -1

Ejemplos

A.   i^14 = (i^2)^7  = (-1)^7 = -1

 

B.   i^27 = i^26  x  i = (i^2)^13  x  i = (-1)^13  x  i = (-1)  x  i = -i

 

C.   i^159 = i^158  x  i = (i^2)^79  x  i = (-1)^79  x  i = (-1)  x  i =  -i

El siguiente ejercicio se puede hacer de dos formas

D.   i^-15 = 1 / i^15 = 1/i^15 x i / i  = 1/i^16 x I = 1/(i^2)^8 x I = 1/(-1)^8 x I = 1/1 x I = i     

E.   i^-15 = 1/i^15 = 1/(i^3)^5 = 1/(-i)^5 = 1/(-i) x i/i = -1/ i^2 x i = -1/(-1) x I = i

Solo se utiliza el primer procedimiento para los que son impares.