Funciones Racionales

A. Asintota Vertical

B. Asintota Oblicua

C. Int. en y   (0, 9/4)
    (x=0)


D. Int. en x   (3, 0)
                    (-3, 0)

Funciones Racionales

Una funcion racional es una funcion en la forma R(x) = P(x)/ Q(x) donde Q no puede ser 0.

Asintotas de las funciones Racionales:

 1) Asintotas Verticales : Las asintotas verticales son las rectas x= a donde a es un cero en el denomindador.

 2) Asintotas Horizontales:

    a) Si n < m, entonces R(x) tiene asintota horizontal y=0

    b) Si n = m entonces R(x) tiene asintota horizontal : 

    c) Si n> , entonces R(x) no tiene asintota horizontal sino oblicua.

Problemas Verbales (Función cuadrática)

Hoy ,13 de noviembre de 2012, estuvimos resolviendo problemas verbales que tratan de aplicar la función cuadrática.

Funciones Cuadraticas

Escribe la función f(x) de la forma a(x – h) + k y halle el vértice completando el cuadrado.

Ejemplos:

1.      f(x) = 2x² + 8x – 3
V = (-b/2a , f(-b/2a) )
2x² + 8x – 3 = 0
2x² + 8x = 3
2/2(x² + 4x) = 3/2
x² + 4x + (4/2)² = 3/2 + (4/2)²
x² + 4x + 4 = 3/2 + 4
√(x +2)² = √11/2
x + 2 = ⁺_{_} √11/2
x = 2 ⁺_- √11/2

f(x) = 2x² + 8x -3
= (2x² + 8x) – 3
= 2(x² + 4x) – 3
= 2(x² + 4x + 4) – 3
= 2(x² + 4x + 4) – 3 – 8
f(x) = 2(x + 2)² – 11
Vértice: (-2, -11)

2.      f(x) = -5x² – 9x + 10
= (-5x² – 9x) + 10
= -5(x² + 9/5x) + 10
= -5(x² + 9/5x + 81/100 – 81/100) + 10
= -5(x² + 9/5x + 81/100) + 10 + 405/100
= -5(x + 9/10)² + 10 + 81/20
f(x) = -5(x + 9/10)² + 281/20
Vértice: (-9/10, 281/20)

3.      f(x) = -4x² + 16x – 2
= (-4x² + 16x) – 2
= -4(x² – 4x) – 2
= -4(x² – 4x + 4 – 4) – 2
= -4(x² – 4x + 4) – 2 +16
= -4(x – 2)² + 14
Vértice: (2, 14)

Funciones Cuadraticas

Formula General

f(x) = ax^2 + bx + c


Ej. f(x) = x^2 - 4x - 5

a = 1, b = -4, c = -5



Vertice: (-b/2a , f(-b/2a)

x = -b/2a

x = -(-4)/2(1)

x = 4/2

x = 2

f(2) = 2^2 - 4(2) - 5
   
      = 4 - 8 - 5
 
      = -9


A. VERTICE: ( 2, -9)

B. EJE DE SIMETRIA: ( X = 2)

C. CONCAVIDAD: ( a > 0 )

D. INT. EN y: ( 0, -5)
   (x=0)

E. INT. EN x: ( 5, 0 )
      (x=0)        (-1, 0)


0 = x^2 - 4x - 5
(x + 1)(x - 5) =

x = -1  x = 5

F. TABLA DE VALORES

GRAFICA

2. Ej f(x) = -2x^2 + 6x + 2

A. VERTICE: (3/2, 13/2)


-6/ 2(-2) = 6/4 = 3/2

f(3/2) = -2(3/2)^2 + 6(3/2) +2

         = -2(9/4) + 9 + 2
       
        = -9/2 + 11

       = 13/2

B. EJE DE SIMETRIA: (   x = 3/2 )

C. CONCAVIDAD: ( a < 0 )

D. INT. EN y: ( 0, 2 )

E. INT. EN x: (-0.30, 0 )
                        ( 3.30, 0 )






















F. TABLA DE VALORES

GRAFICA

Funcion Cuadratica

    Una función cuadrática en una función que pueda ser escrita en la forma f(x)= a(x - h)^2 + K.

La gráfica de una función Cuadrática tiene una forma de U y se conoce como una parábola.

Forma general : 

Forma estandar: 

 

1) Vertice 

      2) concavidad
             3) Eje de simetria
  4)  Int. en y
  5)  Int. en x
              6) Tabla de Valores 

Ej: 

 

Funciones Inversas

Hoy, 1 de noviembre de 2012, aprendimos lo que son las funciones inversas. A continuación, definición y ejemplos del mismo:


La función inversa es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa "deshace" o invierte la que ha hecho la función.

Función uno a uno

Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango, es decir:

Composición de funciones

Dada dos funciones f y g, la función compuesta (f o g), denominada también la composición de f y g, está definida por: (f o g) (x) = f(g(x)).

El dominio de f o g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f.

Ejemplos:

1.      f(x) = x²
g(x) = x – 3

(f o g) (x) = f(g(x))
= (x-3)²
= x² + 6x +9

(g o f) (x) = (x²) – 3
= x² – 3

(f o f) (x) = (x²)²
= x⁴

(g o g) (x) = (x – 3) – 3
= x – 6

2.      f(x) = √x
g(x) = √2 – x

A) (f o g) (x) = √√2 – x
= ⁴√2 – x

B) (g o f) (x) = √2 - √x

C) (f o f) (x) = √√x
= ⁴√x

D) (g o g) (x) = √2√2 – x 

Operaciones con funciones

Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f-g, fg y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y divide números reales.

Sean f y g dos funciones con dominio A y B

       a.   f(x) + g(x)= (f + g)(x)

         b .  f(x) – g(x)= (f – g)(x)

         c.   f(x).g(x)= (fg)(x)

         d.   f(x)/g(x)= (f/g)(x)

Ej.  f(x)= 2x – 3

      g(x)= x + 4

a.       (f + g)(x)= (2x-3) + (x + 4)= 3x + 1

b.      (f – g)(x)= (2x-3) – (x + 4)= x – 7

c.       (fg)(x)= (2x – 3)(x + 4)= 2x^2 + 5x – 12

d.      (f/g)(x)= 2x – 3/x + 4

f(x)= 2/x + 1

g(x)= x/x + 1

1. (f + g)(x)

2. (f – g)(-4)

3. (fg)(x)

4. (f/g)(1/2)

5. (g/f)(x)

Funciones crecientes,decrecientes, y constantes

f es creciente en [a,b] y [c,d]
f es decreciente en [b,c]
f es creciente en un intervalo (I). Si f(x) < f (x2) siempre que X1 < X2 en I.

f es creciente

 F es decreciente en un intervalo (I). Si F(x1) > F(x2) siempre que x1> x2 en I. 

f es decreciente.

Gráfica de funciones definida por partes

Gráfica de funciones definida por partes

Hoy, 22 de octubre de 2012, estuvimos estudiando sobre la gráfica de
funciones definida por partes prevamente provistas. A continuación,
ejemplos del mismo:

Una función por partes se define mediante

fórmulas distintas en diferentes

partes de su dominio, la grafica de tal función

consiste en trozos separados.



Funciones Pares e Impares

Estiramiento y Acortamiento vertical de graficas

•       Si c > 1, alargue verticalmente la grafica de y= f(x)

• .    Si 0 < c < 1, acorte la grafica de y=f(x) por un factor de c

1. f(x)=x^2








2.f(x)=2x^2








3.f(x)=1/2x^2

1. f(x)=x^3

2. f(x)=3x^3

3. f(x)=(1/3)x^3

f(x)= 2(x+2)^3-5

• Acortamiento y alargamiento horizontal de graficas

                    La grafica de y= f(x)

1.       Si c >, acorte la grafica de y= f(x) horizontalmente por un factor de 1/c

2.       Si O < c < 1, alargue la grafica de y=f(x) horizontalmente por un factor de 1/c

Desplazamiento horizontal (el irrespetuoso)

Desplazamiento horizontal

Hoy, continuamos el tema de desplazamiento y estuvimos aprendiendo sobre el desplazamiento horizontal. A diferencia del vertical, el desplazamiento horizontal no respeta signos lo cual implica que si un número es negativo, en la gráfica se verá como numero positivo.

y= (x+k)

Reflexión de Gráficas

•    Para Graficar y = - f(x) , refleje la gráfica de y = f(x) en el eje de x. 

•  Para Graficar y= f(-x) refleje la gráfica de y = f(x) en el eje de y. 

Ejemplos : 

1)

f(x) = x^2 

f(x) = - x^2 

2)

f(x) = x^3

f(x) = -x^3