Funciones Racionales

A. Asintota Vertical

B. Asintota Oblicua

C. Int. en y   (0, 9/4)
    (x=0)


D. Int. en x   (3, 0)
                    (-3, 0)

Funciones Racionales

Una funcion racional es una funcion en la forma R(x) = P(x)/ Q(x) donde Q no puede ser 0.

Asintotas de las funciones Racionales:

 1) Asintotas Verticales : Las asintotas verticales son las rectas x= a donde a es un cero en el denomindador.

 2) Asintotas Horizontales:

    a) Si n < m, entonces R(x) tiene asintota horizontal y=0

    b) Si n = m entonces R(x) tiene asintota horizontal : 

    c) Si n> , entonces R(x) no tiene asintota horizontal sino oblicua.

Problemas Verbales (Función cuadrática)

Hoy ,13 de noviembre de 2012, estuvimos resolviendo problemas verbales que tratan de aplicar la función cuadrática.

Funciones Cuadraticas

Escribe la función f(x) de la forma a(x – h) + k y halle el vértice completando el cuadrado.

Ejemplos:

1.      f(x) = 2x² + 8x – 3
V = (-b/2a , f(-b/2a) )
2x² + 8x – 3 = 0
2x² + 8x = 3
2/2(x² + 4x) = 3/2
x² + 4x + (4/2)² = 3/2 + (4/2)²
x² + 4x + 4 = 3/2 + 4
√(x +2)² = √11/2
x + 2 = ⁺_{_} √11/2
x = 2 ⁺_- √11/2

f(x) = 2x² + 8x -3
= (2x² + 8x) – 3
= 2(x² + 4x) – 3
= 2(x² + 4x + 4) – 3
= 2(x² + 4x + 4) – 3 – 8
f(x) = 2(x + 2)² – 11
Vértice: (-2, -11)

2.      f(x) = -5x² – 9x + 10
= (-5x² – 9x) + 10
= -5(x² + 9/5x) + 10
= -5(x² + 9/5x + 81/100 – 81/100) + 10
= -5(x² + 9/5x + 81/100) + 10 + 405/100
= -5(x + 9/10)² + 10 + 81/20
f(x) = -5(x + 9/10)² + 281/20
Vértice: (-9/10, 281/20)

3.      f(x) = -4x² + 16x – 2
= (-4x² + 16x) – 2
= -4(x² – 4x) – 2
= -4(x² – 4x + 4 – 4) – 2
= -4(x² – 4x + 4) – 2 +16
= -4(x – 2)² + 14
Vértice: (2, 14)

Funciones Cuadraticas

Formula General

f(x) = ax^2 + bx + c


Ej. f(x) = x^2 - 4x - 5

a = 1, b = -4, c = -5



Vertice: (-b/2a , f(-b/2a)

x = -b/2a

x = -(-4)/2(1)

x = 4/2

x = 2

f(2) = 2^2 - 4(2) - 5
   
      = 4 - 8 - 5
 
      = -9


A. VERTICE: ( 2, -9)

B. EJE DE SIMETRIA: ( X = 2)

C. CONCAVIDAD: ( a > 0 )

D. INT. EN y: ( 0, -5)
   (x=0)

E. INT. EN x: ( 5, 0 )
      (x=0)        (-1, 0)


0 = x^2 - 4x - 5
(x + 1)(x - 5) =

x = -1  x = 5

F. TABLA DE VALORES

GRAFICA

2. Ej f(x) = -2x^2 + 6x + 2

A. VERTICE: (3/2, 13/2)


-6/ 2(-2) = 6/4 = 3/2

f(3/2) = -2(3/2)^2 + 6(3/2) +2

         = -2(9/4) + 9 + 2
       
        = -9/2 + 11

       = 13/2

B. EJE DE SIMETRIA: (   x = 3/2 )

C. CONCAVIDAD: ( a < 0 )

D. INT. EN y: ( 0, 2 )

E. INT. EN x: (-0.30, 0 )
                        ( 3.30, 0 )






















F. TABLA DE VALORES

GRAFICA

Funcion Cuadratica

    Una función cuadrática en una función que pueda ser escrita en la forma f(x)= a(x - h)^2 + K.

La gráfica de una función Cuadrática tiene una forma de U y se conoce como una parábola.

Forma general : 

Forma estandar: 

 

1) Vertice 

      2) concavidad
             3) Eje de simetria
  4)  Int. en y
  5)  Int. en x
              6) Tabla de Valores 

Ej: 

 

Funciones Inversas

Hoy, 1 de noviembre de 2012, aprendimos lo que son las funciones inversas. A continuación, definición y ejemplos del mismo:


La función inversa es una regla que actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondiente. Así, la inversa "deshace" o invierte la que ha hecho la función.

Función uno a uno

Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango, es decir: