Ceros y sus Multiplicidades

 En el teorema de factorización completa los números  C1, C2 .........Cn son los ceros de P. Estos ceros no necesariamente son diferentes. Si el factor x - c aparece k veces en la factorización completa de P(x), entonces se dice que c es un cero de multiplicidad k. El polinomio

 Ej:  
  tiene los ceros siguientes :
 1 ( multiplicidad 3), -2( multiplicidad 2), -3 ( multiplicidad 5)
Teorema de ceros : 

  Todo polinomio de grado   n < 1  tiene exactamente n ceros, siempre que un cero de multiplicidad x se cuanta k veces.

  Ej : Hallar un polinomio con ceros especificados
   P tiene un grado 3 y ceros 2 , 3 (multiplicidad 2)

 

Ceros complejos de funciones polinómicas

Hoy, 17 de enero de 2013, continuamos con algunos ejercicios del tema anterior. Luego, estuvimos aprendiendo sobre los ceros complejos de funciones polinómicas. 

~ Un número complejo r es un cero (complejo) de una función compleja f si f(r)=0.

Ceros Reales de un Polinomio

Teorema del Factor

El binomio (x-c) es un factor de la función polinómica f(x) si y solo si f(c) = 0.

Observación

Si c es un cero del polinomio entonces x-c  es un factor. Cada cero genera un factor y viceversa.

Si 2 y -3 son dos ceros de la función f(x). Factorice completamente la función f(x)

Encuentra el residuo al dividir por x + 3, x + 1

División Sintética

 La división sintética es un procedimiento matématico usado para dividir polinomios por binomios de la forma x-c donde c es una constante. Es una abreviación de la división larga donde se usa solamente los coeficientes para hacer la división.

Teorema del Residuo
  Si una función polinómica f(x) se divide por un binomio de la forma x-c entonces el residuo es f(x).
  El teorema del residuo nos permite :
1. Encontrar el residuo de una división evaluando la función.
2. Encontrar el valor de una función usando el residuo de una división.

 

Funciones polinomiales

Hoy, 9 de enero de 2013, estuvimos estudiando sobre las funciones polinomiales. Estas conllevan una serie de normas las cuales serán mencionadas a continuación.

Normas para graficar funciones polinomiales:

1.Ceros= factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales; ests son las intersecciones con el eje de x en la gráfica.

2. Puntos de Prueba (Tabla de valores)= construir una tabla de valores para el polinomio.

3. Comportamiento extremo= Determina el comportamiento extremo mediante una tabla de signos.

4. Gráfica= trace las intersecciones y otros puntos que encontró en la tabla. Bosqueje una curva lisa que pase por estos puntos.

Funciones polinomiales y sus graficas

Funciones polinomiales

Una función polinomial de grado n es función de la forma:
P(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1} +… + a₁x + a₀
donde n es un entero no negativo a = 0

-          El número a₀, a₁, a₂… a_n se llaman coeficientes del polinomio.

-          El número a₀, el coeficiente constante o término constante.

-          El número a_n, el coeficiente de la potencia más alta, es el coeficiente principal y el término a_nxⁿ  es el término principal.

Ej.

1.      f(x) = 3x⁴ – 2x² + 8x² + 7x + 1

2.      f(x) = -6x³ – 2x + 1

3.      f(x) = 6x⁴ – 7x³ – 7x + 9

4.      f(x) = x⁵ – 3x² + 1

5.      f(x) = 6x⁶ – 7x³ – 8x² + 9x – 1

Gráfica de polinomios 

Las gráficas de polinomios de grado 0 o 1, y las gráficas de los polinomios de grado 2 son parábolas. Mientras mayor sea el grado del polinomio, más complicada será la gráfica. Sin embargo, la gráfica de una función polinomial es siempre una curva lisa; es decir, no tiene discontinuidad en las esquinas.

Función polinomial de grado impar 

Función polinomial de grado par