Leyes de los logaritmos

~Sea un número positivo con a no igual a 1, sea A, B y C números reales cualesquiera con A>0, B>0.

Evalué cada expresión con logaritmos

Para determinar con exactitud el valor de un logaritmo escribimos el logaritmo en notación exponencial: si a^u = a^v.

Ej.  2^x = 2³

      x =3

Ejemplos:

1.     log₃ ⅓ = Y = -1

3^y = ⅓

3^y = 3^-1

Y = -1

2.     log₅ = Y

5^y = 5⁴

Y = 4

3.     log₉ √3 = Y

9^y = 3^½

3^2y = 3^½

2y = ½

Y = (½)(½)

Y = ¼

4.     3^log₃⁸ = Y

log₃Y = log₃ 8

Y = 8

5.     log_√2 4 = Y

(√2)^y = 2²

2^½y = 2²

2(½y) = (2)2 

Y = 4

6.     log₂ 5 = Y

2^y = 5

Logaritmo natural

El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln
lnx = log_e X

La función logaritmo natural y = lnx es la función.

1.     ln e³ = 3
log_e e³ = Y
e^y = e³
Y = 3

2.     ln √e
log_e √e = Y
e^y = √e
e^y = e^½
Y = ½

Graficacion de funciones logaritmicas

Caracteristicas

a>1

0 < a < 1

solucion

para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que puedo hallar con facilidad sus logaritmos

Funciones Logarítmicas

Definicion:
 Sea a un número positivo a no es igual a 1. La Función logarítmica con base a, denotada por log a, se define :

 

Ej:

Funciones exponenciales y logarítmicas

La función Exponencial

f(x) = a^x  a < 0, a ≠ 1 tiene dominio y rango (0, ∞). La recta y = 0.

Función exponencial natural

El numero e se define como el valor al que se aproxima (1 + 1/n)ⁿ cuando n se vuelve grande.

La función exponencial natural es la función exponencial f(x) = e^x con base e. Es común referirse a ella como la función exponencial.

Ejemplo:

Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

v(t) = 10,000/5 + 1245e^-0.97

Contesta:

1.     ¿Cuántas personas infectadas hay por el virus? (t = 0)

2.     Calcule el número de personas infectadas después de un día y después de cinco días.

3.     Grafique la función y describa el comportamiento.

1.     v(0) = 10,000/5 + 1245e⁰

= 8 habitantes

2.     v(1) = 10,000/5 + 1245e^-0.97(1)

= 21 habitantes

3.     v(5) = 10,000/5 + 1245e^-0.97(5)

= 678 habitantes 

Interés compuesto

El interés compuesto se calcula mediante la fórmula:

 A(t) = P(1 + r/n)^nt

donde: A(t) = cantidad después de t años.

P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años

Ejemplo:

Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. 

Interés de compuesto en forma continua

El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula A(t) = Pe^rt donde:
A(t) = cantidad después de t años.
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años 

Modelo de Crecimiento

Hoy, 19 de febrero de 2013, estuvimos aprendiendo sobre el tema del modelo de crecimiento. He aquí, algunos ejemplo del mismo:

Leonhard Paul Euler

Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.

Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera relevante a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.

Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia, comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes. Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10 % de sus escritos. Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.

También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.

Funciones Exponenciales

Funciones Exponenciales

Estas funciones son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos.

Ejemplo

F(x)= 2^x

Es una función exponencial con base 2

La rapidez en que crece

F(3)=2^3=8

F(10)= 20^10=1024

F(30)=20^30= 1,073,741,824

Características de la función exponencial, f(x) = a^x cuando a>1

F(x) = 3^x

x	y
0	1
1	3
-1	1/3

Si se compara con:

G(x) = x^2, g(30) = 30^2 = 900

F(x) = 2^x

F(x) = 2^-x