Funciones trigonométrica de ángulos

En la sección se amplían las relaciones trigonométricas a todos los ángulos definiendo las funciones trigonométricas de ángulos. Con estas funciones se pueden resolver problemas prácticos en los que los ángulos no necesariamente son agudos.

Sea Ѳ un angulo en posición estándar y sea P (x, y) un punto sobre el lado terminal. Si r = √x² + y² es la distancia del origen al P (x, y), entonces;

aplicacion de trigonometria de triangulos rectangulos

Resolver un triangulo rectángulo significa determinar todas sus partes a partir de la información conocida acerca del triangulo, es decir, determinar las longitudes de los tres lados y las medidas de los tres ángulos.

1. Un árbol proyecta una sombra de 532 pies de largo. Encuentra la altura del árbol si el ángulo de elevación del sol es 25.7

2. Una escalera de 40 pies está apoyada de un edificio. Si la base de la escalera está separada 6 pies de la base del edificio ¿Cuál es su altura?

3. Cual es la altura de la bandera? 

Relaciones Trigonométricas

Ángulos Coterminantes

Hoy, 2 de abril de 2013, hicimos un par de ejercicios del tema anterior con dos formulas. Luego, cubrimos el nuevo tema sobre los diferentes ángulos y como se determinan por sus revoluciones y otros factores.

Un angulo esta en posición estándar si se dibuja en el plano xy  con su vértice en el origen y su lado inicial en el eje de x positivo.

A continuación, un video para mayor comprensión del tema

Funciones Trigonométricas de ángulos

Medida angular
Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos. 

Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de las matemáticas, se usa un modo más natural de medir ángulos, la medida en radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide a lo largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo.  

La medida de un ángulo es la cantidad de rotación respecto al vértice requerido para mover R₁ sobre R₂. Esto es cuando se abre el ángulo.

Medida en radianes

Si un circulo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (rad) es la longitud del arco subtiende el ángulo. 

La circunferencia de radio 1 es 2π y, por lo tanto, una revolución completa tiene 2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de π/2 rad.

Puesto que una revolución completa medida en grados es 360^o y medida en radianes 2π, se obtiene la siguiente relación entre dos métodos de medición de ángulo.

Ecuaciones exponenciales y logaritmicas

                                                             

Uso de las Leyes de los Logarítmos

Desarrolla la expresion logaritmica:

Expresa en un solo Logaritmo:

Leyes de los logaritmos

~Sea un número positivo con a no igual a 1, sea A, B y C números reales cualesquiera con A>0, B>0.

Evalué cada expresión con logaritmos

Para determinar con exactitud el valor de un logaritmo escribimos el logaritmo en notación exponencial: si a^u = a^v.

Ej.  2^x = 2³

      x =3

Ejemplos:

1.     log₃ ⅓ = Y = -1

3^y = ⅓

3^y = 3^-1

Y = -1

2.     log₅ = Y

5^y = 5⁴

Y = 4

3.     log₉ √3 = Y

9^y = 3^½

3^2y = 3^½

2y = ½

Y = (½)(½)

Y = ¼

4.     3^log₃⁸ = Y

log₃Y = log₃ 8

Y = 8

5.     log_√2 4 = Y

(√2)^y = 2²

2^½y = 2²

2(½y) = (2)2 

Y = 4

6.     log₂ 5 = Y

2^y = 5

Logaritmo natural

El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln
lnx = log_e X

La función logaritmo natural y = lnx es la función.

1.     ln e³ = 3
log_e e³ = Y
e^y = e³
Y = 3

2.     ln √e
log_e √e = Y
e^y = √e
e^y = e^½
Y = ½

Graficacion de funciones logaritmicas

Caracteristicas

a>1

0 < a < 1

solucion

para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que puedo hallar con facilidad sus logaritmos

Funciones Logarítmicas

Definicion:
 Sea a un número positivo a no es igual a 1. La Función logarítmica con base a, denotada por log a, se define :

 

Ej:

Funciones exponenciales y logarítmicas

La función Exponencial

f(x) = a^x  a < 0, a ≠ 1 tiene dominio y rango (0, ∞). La recta y = 0.

Función exponencial natural

El numero e se define como el valor al que se aproxima (1 + 1/n)ⁿ cuando n se vuelve grande.

La función exponencial natural es la función exponencial f(x) = e^x con base e. Es común referirse a ella como la función exponencial.

Ejemplo:

Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

v(t) = 10,000/5 + 1245e^-0.97

Contesta:

1.     ¿Cuántas personas infectadas hay por el virus? (t = 0)

2.     Calcule el número de personas infectadas después de un día y después de cinco días.

3.     Grafique la función y describa el comportamiento.

1.     v(0) = 10,000/5 + 1245e⁰

= 8 habitantes

2.     v(1) = 10,000/5 + 1245e^-0.97(1)

= 21 habitantes

3.     v(5) = 10,000/5 + 1245e^-0.97(5)

= 678 habitantes 

Interés compuesto

El interés compuesto se calcula mediante la fórmula:

 A(t) = P(1 + r/n)^nt

donde: A(t) = cantidad después de t años.

P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años

Ejemplo:

Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. 

Interés de compuesto en forma continua

El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula A(t) = Pe^rt donde:
A(t) = cantidad después de t años.
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años 

Modelo de Crecimiento

Hoy, 19 de febrero de 2013, estuvimos aprendiendo sobre el tema del modelo de crecimiento. He aquí, algunos ejemplo del mismo: